Uitwerkingen huiswerkopgave: Wiskundige Beeldverwerkingstechnieken

23 Februari 2005

Opgave 1

A. Zij Overscript[=, def] ^4 en x, y∈ met x = (x ) 0 x 1 x 2 x 3, y = (y ) 0 y 1 y 2 y 3, x_i, y_i∈ voor elke i = 0, 1, 2, 3 en λ∈.

Dan is de gebruikelijke definitie van vectoroptelling: x + yOverscript[=, def] (x + y ) ∈ 0 0 ... 2 2 x + y 3 3 en die van scalaire vermenigvuldiging: λ xOverscript[=, def] (λ x ) ∈ 0 ... 2 λ x 3.

B. Zij Overscript[=, def] ^4 en x, y∈ met x = (x ) 0 x 1 x 2 x 3, y = (y ) 0 y 1 y 2 y 3, x_i, y_i∈ voor elke i = 0, 1, 2, 3. Dan geldt dat het standaard reëelwaardige inprodukt een mapping 〈〉 :  × ⟶ is, gedefinieerd als 〈xy〉Overscript[=, def] x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.

C. Zij Overscript[=, def] ^4 en x, y∈ met x = (x ) 0 x 1 x 2 x 3, y = (y ) 0 y 1 y 2 y 3, x_i, y_i∈ voor elke i = 0, 1, 2, 3. Dan is het product (of vectorvermenigvuldiging) gedefinieerd als x yOverscript[=, def] (x y - x y - x y - x y ) ∈ ... x y + x y + x y - x y 0 3 3 0 1 2 2 1.

Stelling:  vormt, tezamen met de definities uit onderdeel A. en B. en voorzien van bovenstaande vermenigvuldigingsoperatie, een algebra.

C1. ∀x, y, z∈ : (x y) z = x(y z)

(x y) zOverscript[=, def] ((x y - x y - x y - x y ) z - (x y + x y + x y - x y ... 0 1 1 2 2 3 3 1 0 2 2 0 3 1 1 3 2 0 1 1 0 2 3 3 2

C2. ∀x, y, z∈ : x(y + z) = (x y) + (x z)

x (y + z) Overscript[=, def] (x (y + z ) - x (y + z ) - x (y + z ) - x (y + z )) ... z + x z + x z - x z ) 0 3 3 0 1 2 2 1 0 3 3 0 1 2 2 1

C3. ∀x, y, z∈ : (x + y) z = (x z) + (y z)

(x + y) zOverscript[=, def] ((x + y ) z - (x + y ) z - (x + y ) z - (x + y ) z ) ... z + y z + y z - y z ) 3 0 0 3 2 1 1 2 3 0 0 3 2 1 1 2

C4. ∀x, y, z∈, λ∈ : λ(x y) = (λ x) y = x(λ y)

λ (x y) Overscript[=, def] (λ(x y - x y - x y - x y )) ... 3 3 0 1 2 2 1  Overscript[=, def] x(λ y)

Hiermee is bewezen dat  een algebra vormt. □

D. Stelling: Zij h∈ dan bestaat er een eenheidselement 1∈ zodanig dat 1 · h = h.

Zij 1 = (e ) 0 e 1 e 2 e 3 en h = (h ) 0 h 1 h 2 h 3 dan geldt de volgende vergelijking

1 · hOverscript[=, def] (e h - e h - e h - e h ) = (h ) 0 0 ... e h + e h + e h - e h h 0 3 3 0 1 2 2 1 3

Voor deze uitdrukking kan de volgende matrixvergelijking opgesteld worden

(h -h -h -h ) (e ) = (h ) 0 1 2 3 0 0 h h h -h ... 0 1 2 2 2 h h h -h e h 3 0 2 1 3 3

Het oplossen van de matrixvergelijking resulteert in de volgende eenheidsvector: 1Overscript[=, def] (1) 0 0 0.

E. Zij x = (1) ∈ 2 3 4 en y = (5) ∈ 6 7 8. Voor commutativiteit moet dan gelden: ∀x, y∈ : x y = y x. De volgende berekening laat zien dat dit niet zo is.

x y = (1) (5) = (1 * 5 - 2 * 6 - 3 * 7 - 4 * 8) = (-60) 2 6 1 * 6 + 2 * 5 + 3 * ... 3 5 * 3 + 7 * 1 + 8 * 2 - 6 * 4 14 8 4 5 * 4 + 8 * 1 + 6 * 3 - 7 * 2 32

Hieruit blijkt dat x y≠y x en daarmee dat  niet commutatief is. □

F. Zij _1⊂ en _1Overscript[=, def] {x∈ | 〈x | x〉 = 1, oftewel x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1} Stelling: _1 is een groep ten aanzien van vermenigvuldiging. Hiervoor moet gelden

F1. Eis van geslotenheid: als x, y∈_1 dan ook x y∈_1 en derhalve 〈x y | x y〉 = 1.

〈x y | x y〉Overscript[=, def] (x_0y_0 - x_1y_1 - x_2y_2 - x_3y_3) (x_0y_0 - x_1y_1 ... 2) (y_0^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)  = 〈x | x〉〈y | y〉  = 1

F2. Eis van associativiteit: ∀x, y, z∈_1 : (x y) z = x(y z). Aangezien _1⊂ en  is associatief, moet ook gelden dat _1 is associatief (zie ook onderdeel C1).

F3. Het eenheidselement uit onderdeel D was als volgt gedefinieerd 1Overscript[=, def] (1) 0 0 0

Om aan te tonen dat het eenheidselement ook een element van _1 is, moet gelden 〈1 | 1〉 = 1. Dat dit zo is, blijkt uit 〈1 | 1〉 = 1 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0 = 1.

F4. Zij x = (x ) ∈_1 0 x 1 x 2 x 3 en x^(-1) = (y ) ∈_1 0 y 1 y 2 y 3. Dan moet gelden x x^(-1) = x^(-1) x = 1. Oftewel

x x^(-1) = (x y - x y - x y - x y ) = (1) 0 0 1 1 2 2 3 3 ... 3 1 1 3 x y + x y + x y - x y 0 3 3 0 1 2 2 1

Dit kan in matrixnotatie geschreven worden als volgt:

(x -x -x -x ) (y ) = (1) 0 1 2 3 0 ... -x y 0 2 3 0 1 2 x -x x x y 3 2 1 0 3

Oplossen van dit stelsel vergelijkingen resulteert in (y ) = ( x0 ) 0 --------------------- ... ------------------- 2 2 2 2 x0 + x1 + x2 + x3

Omdat x∈_1 geldt: x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1. Derhalve kunnen we ook schrijven

x^(-1) = (x ) ∈_1 0 -x 1 -x 2 -x 3 want x_0^2 + (-x_1^2) + (-x_2^2) + (-x_3^2) = 1. Verder geldt ook dat x x^(-1) = x^(-1) x = ( 2 2 2 2) = (1) x + x + x + x ... 0 0 0 0. □

G. Zij x = (x ) ∈ 0 x 1 x 2 x 3 en y = (y ) ∈ 0 y 1 y 2 y 3. Dan kunnen we x y = y x schrijven als

(x y - x y - x y - x y ) = (y x - y x - y x - y x ) 0 0 1 1 2 2 3 ... y x + y x + y x - y x 0 3 3 0 1 2 2 1 0 3 3 0 1 2 2 1

Alles naar één kant halen resulteert in

( ) = (0) 0 - 0 - 0 - 0 0 0 + 0 + 2 x ... - 2 x y 0 3 1 1 3 0 + 0 + 2 x y - 2 x y 1 2 2 1

Dit reduceert in de volgende drie vergelijkingen

(x y - x y ) = (0) 2 3 3 2 0 x y - x y 3 1 1 3 0 x y - x y 1 2 2 1

Als Overscript[x, ] Overscript[=, def] (x ), Overscript[y, ] Overscript[=, def] (y ... y 3 3 dan staat hier eigenlijk het uitproduct Overscript[x, ] × Overscript[y, ] = Overscript[0, ] m.a.w. Overscript[x, ] en Overscript[y, ] lopen parallel aan elkaar. Dit resulteert in de volgende definitie van _x^c:

_x^cOverscript[=, def] {y∈ | Overscript[x, ] × Overscript[y, ] = Overscript[0, ]}. □

□□□

Created by Mathematica  (February 28, 2005)